b) Métodos locales
Los modelos de velocidad asumen que movimientos simples en patrones son comunes. Y la forma más común de solucionarlos es por mínimos cuadrados; donde la velocidad estimada se calcula minimizando:
ΣxЄRW2(x)(Gradiente(I)(x,t)•V+It(X,t))^2
Donde W(x) denota la función de una ventana y R los vecinos espaciales. El problema de apertura es resuelto analíticamente incluyendo 2as derivadas parciales. Estas restricciones proveen ecuaciones en las dos componentes del vector velocidad y esta determinada por la ecuación:
(Gradiente)(Gradiente)(I)=-Gradiente(It)
Donde el resultado expresa las dos componentes de velocidad en cada punto de la imagen.
Otro de los métodos que se usan para calcular el flujo óptico y que evita el estimar la intensidad de las derivadas, usan el teorema de divergencia de Gauss; lo cual nos da la siguiente ecuación:
∫v(Ix+Iy+It)dV = ∫SuIdydt + ∫SvIdxdt - ∫VI(ux+vy)dxdydt + ∫SIdxdy = 0
Donde S y V denotan la integración local sobre las superficies y volúmenes en la intensidad de la información.
c) Modelos de Superficie
En dos planos con distintas orientaciones de superficie y que tienen diferentes movimientos en el espacio 3d tienen el mismo flujo óptico.
Las técnicas para calcular los movimientos en planos asumen que la velocidad en el punto de curvatura en una superficie es definido por una aproximación en las 2as series de expansión de Taylor (Waxman y Wohn, 1988).
v(x,y)=v(0,0) + δv/δx + δv/δy + 1δ^2vδ/2δx^2 +δ^2v/ δxδy + 1δ^2v/2δy^2
Cuando aplicamos la ecuación restrictiva de velocidad normal vn=v•n se obtiene una ecuación lineal con 12 incógnitas en las componentes de v y sus derivadas de 1er y 2º orden. Donde la superficie que es plana esta dada por:
δ^2v/δx^2=(2δ^2v/δxδy,0) y δ^2v/δy^2 = (0,2δ^2u/δxδy)
estas ecuaciones permiten escribir la ecuación de Waxman y Wohn en una ecuación con 8 incógnitas y que permiten recuperar la velocidad de una superficie plana.
d) Modelos de contornos
Estos métodos se enfocan en la extracción de contornos relevantes en la imagen con un prefiltrado, seguido de estimaciones diferenciales en el movimiento de la imagen; esto debido a que los contornos tienen señales fuertes de ruido que los hace un blanco fácil para poder extraer las características geométricas de un objeto. Hildreth \cite{} propone una restricción de suavidad que se aplica a velocidades normales estimadas a traves de contornos extraídos de imágenes variando en el tiempo. Donde para una superficie S la velocidad normal estimada es:
∫δv/δSdS
Si al menos dos velocidades normales estimadas a través de la superficie S son diferentes, entonces la minimización de esta integral cede a una única velocidad sobre el contorno S.
∫(δv/δS)^2 + β(v•ň-||v+||2)^2dS
Donde ň es el vector unitario en la dirección de la v+ minimizada a lo largo de los contorno. Donde β es el factor de peso y (v•ň-||v+||) es la diferencia de cuadrados entre la velocidad normal estimada y la velocidad predicha para la solución.
Gong y Brady(1990) formulan una restricción similar pero incluyen una diferencia de mínimos cuadrados para la velocidad tangencial.
∫(δv/δS)^2 + β( v • ň-||v+||2)^2dS + a(v • ŧ - ||v||||2)2dS
Donde ŧ es el vector unitario perpendicular ň y a es una expresión escalar asociada con la componente tangencial de v, proporcional al determinante de la matriz Hessiana de las intensidades de las estructuras en la imagen.
e) Métodos Multicontraste
Estos métodos usan múltiples instancias de la ecuación restrictiva del flujo óptico para proveer expresiones ambiguas de los movimientos en las imágenes a partir de simples puntos, expanden la imagen espacio temporal con polinomios Hermite y resuelven para v usando mínimos cuadrados estándar.
Sistemas con funciones diferentes a la intensidad pueden ser sustituidos en la ecuación restrictiva del flujo óptico, que pueden ser vistas como operaciones aplicadas a los niveles de gris. Aunque el problema de apertura no puede ser resuelto cuando se encuentran singularidades en sistemas sobre restringido. Esto ocurre en estructuras con intensidades particulares, como lo son regiones con intensidad uniforme, texturas periódicas o imágenes muy estructuradas.
f) Enfoques Jerárquicos.
Este tipo de enfoques se utilizan cuando existen problemas con largos movimientos en el espacio 2D, en la aplicación de métodos diferenciales en una forma de lo grueso a lo fino se soluciona este problema. Donde se trata de bajar la resolución de una imagen para poder determinar su flujo óptico, de forma más sencilla.
Los modelos de velocidad asumen que movimientos simples en patrones son comunes. Y la forma más común de solucionarlos es por mínimos cuadrados; donde la velocidad estimada se calcula minimizando:
ΣxЄRW2(x)(Gradiente(I)(x,t)•V+It(X,t))^2
Donde W(x) denota la función de una ventana y R los vecinos espaciales. El problema de apertura es resuelto analíticamente incluyendo 2as derivadas parciales. Estas restricciones proveen ecuaciones en las dos componentes del vector velocidad y esta determinada por la ecuación:
(Gradiente)(Gradiente)(I)=-Gradiente(It)
Donde el resultado expresa las dos componentes de velocidad en cada punto de la imagen.
Otro de los métodos que se usan para calcular el flujo óptico y que evita el estimar la intensidad de las derivadas, usan el teorema de divergencia de Gauss; lo cual nos da la siguiente ecuación:
∫v(Ix+Iy+It)dV = ∫SuIdydt + ∫SvIdxdt - ∫VI(ux+vy)dxdydt + ∫SIdxdy = 0
Donde S y V denotan la integración local sobre las superficies y volúmenes en la intensidad de la información.
c) Modelos de Superficie
En dos planos con distintas orientaciones de superficie y que tienen diferentes movimientos en el espacio 3d tienen el mismo flujo óptico.
Las técnicas para calcular los movimientos en planos asumen que la velocidad en el punto de curvatura en una superficie es definido por una aproximación en las 2as series de expansión de Taylor (Waxman y Wohn, 1988).
v(x,y)=v(0,0) + δv/δx + δv/δy + 1δ^2vδ/2δx^2 +δ^2v/ δxδy + 1δ^2v/2δy^2
Cuando aplicamos la ecuación restrictiva de velocidad normal vn=v•n se obtiene una ecuación lineal con 12 incógnitas en las componentes de v y sus derivadas de 1er y 2º orden. Donde la superficie que es plana esta dada por:
δ^2v/δx^2=(2δ^2v/δxδy,0) y δ^2v/δy^2 = (0,2δ^2u/δxδy)
estas ecuaciones permiten escribir la ecuación de Waxman y Wohn en una ecuación con 8 incógnitas y que permiten recuperar la velocidad de una superficie plana.
d) Modelos de contornos
Estos métodos se enfocan en la extracción de contornos relevantes en la imagen con un prefiltrado, seguido de estimaciones diferenciales en el movimiento de la imagen; esto debido a que los contornos tienen señales fuertes de ruido que los hace un blanco fácil para poder extraer las características geométricas de un objeto. Hildreth \cite{} propone una restricción de suavidad que se aplica a velocidades normales estimadas a traves de contornos extraídos de imágenes variando en el tiempo. Donde para una superficie S la velocidad normal estimada es:
∫δv/δSdS
Si al menos dos velocidades normales estimadas a través de la superficie S son diferentes, entonces la minimización de esta integral cede a una única velocidad sobre el contorno S.
∫(δv/δS)^2 + β(v•ň-||v+||2)^2dS
Donde ň es el vector unitario en la dirección de la v+ minimizada a lo largo de los contorno. Donde β es el factor de peso y (v•ň-||v+||) es la diferencia de cuadrados entre la velocidad normal estimada y la velocidad predicha para la solución.
Gong y Brady(1990) formulan una restricción similar pero incluyen una diferencia de mínimos cuadrados para la velocidad tangencial.
∫(δv/δS)^2 + β( v • ň-||v+||2)^2dS + a(v • ŧ - ||v||||2)2dS
Donde ŧ es el vector unitario perpendicular ň y a es una expresión escalar asociada con la componente tangencial de v, proporcional al determinante de la matriz Hessiana de las intensidades de las estructuras en la imagen.
e) Métodos Multicontraste
Estos métodos usan múltiples instancias de la ecuación restrictiva del flujo óptico para proveer expresiones ambiguas de los movimientos en las imágenes a partir de simples puntos, expanden la imagen espacio temporal con polinomios Hermite y resuelven para v usando mínimos cuadrados estándar.
Sistemas con funciones diferentes a la intensidad pueden ser sustituidos en la ecuación restrictiva del flujo óptico, que pueden ser vistas como operaciones aplicadas a los niveles de gris. Aunque el problema de apertura no puede ser resuelto cuando se encuentran singularidades en sistemas sobre restringido. Esto ocurre en estructuras con intensidades particulares, como lo son regiones con intensidad uniforme, texturas periódicas o imágenes muy estructuradas.
f) Enfoques Jerárquicos.
Este tipo de enfoques se utilizan cuando existen problemas con largos movimientos en el espacio 2D, en la aplicación de métodos diferenciales en una forma de lo grueso a lo fino se soluciona este problema. Donde se trata de bajar la resolución de una imagen para poder determinar su flujo óptico, de forma más sencilla.
Bibliografia:
- A. M. Waxman and K. Wohn. Contour evolution, neighborhood deformation, and global image flow: planar surfaces in motion. Int. J. of Robotics Res.,4(3): 95-108, 1985.
- S. Gong and M. Brady, Parallel computation of optic flow. In Proc. of ECCV, pages 124-133, 1990.
- Beauchemin, S. S. & Barron, J. L.,The computation of optical flow, ACM Comput. Surv., ACM, 1995, 27, 433-466.
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