Flujo Óptico en Robots Móviles (7)

b) Métodos locales

Los modelos de velocidad asumen que movimientos simples en patrones son comunes. Y la forma más común de solucionarlos es por mínimos cuadrados; donde la velocidad estimada se calcula minimizando:

ΣxЄRW2(x)(Gradiente(I)(x,t)•V+It(X,t))^2

Donde W(x) denota la función de una ventana y R los vecinos espaciales. El problema de apertura es resuelto analíticamente incluyendo 2as derivadas parciales. Estas restricciones proveen ecuaciones en las dos componentes del vector velocidad y esta determinada por la ecuación:

(Gradiente)(Gradiente)(I)=-Gradiente(It)

Donde el resultado expresa las dos componentes de velocidad en cada punto de la imagen.

Otro de los métodos que se usan para calcular el flujo óptico y que evita el estimar la intensidad de las derivadas, usan el teorema de divergencia de Gauss; lo cual nos da la siguiente ecuación:

∫v(Ix+Iy+It)dV = ∫SuIdydt + ∫SvIdxdt - ∫VI(ux+vy)dxdydt + ∫SIdxdy = 0

Donde S y V denotan la integración local sobre las superficies y volúmenes en la intensidad de la información.

c) Modelos de Superficie

En dos planos con distintas orientaciones de superficie y que tienen diferentes movimientos en el espacio 3d tienen el mismo flujo óptico.
Las técnicas para calcular los movimientos en planos asumen que la velocidad en el punto de curvatura en una superficie es definido por una aproximación en las 2as series de expansión de Taylor (Waxman y Wohn, 1988).

v(x,y)=v(0,0) + δv/δx + δv/δy + 1δ^2vδ/2δx^2 +δ^2v/ δxδy + 1δ^2v/2δy^2


Cuando aplicamos la ecuación restrictiva de velocidad normal vn=v•n se obtiene una ecuación lineal con 12 incógnitas en las componentes de v y sus derivadas de 1er y 2º orden. Donde la superficie que es plana esta dada por:

δ^2v/δx^2=(2δ^2v/δxδy,0) y δ^2v/δy^2 = (0,2δ^2u/δxδy)

estas ecuaciones permiten escribir la ecuación de Waxman y Wohn en una ecuación con 8 incógnitas y que permiten recuperar la velocidad de una superficie plana.

d) Modelos de contornos

Estos métodos se enfocan en la extracción de contornos relevantes en la imagen con un prefiltrado, seguido de estimaciones diferenciales en el movimiento de la imagen; esto debido a que los contornos tienen señales fuertes de ruido que los hace un blanco fácil para poder extraer las características geométricas de un objeto. Hildreth \cite{} propone una restricción de suavidad que se aplica a velocidades normales estimadas a traves de contornos extraídos de imágenes variando en el tiempo. Donde para una superficie S la velocidad normal estimada es:

∫δv/δSdS

Si al menos dos velocidades normales estimadas a través de la superficie S son diferentes, entonces la minimización de esta integral cede a una única velocidad sobre el contorno S.


∫(δv/δS)^2 + β(v•ň-||v+||2)^2dS

Donde ň es el vector unitario en la dirección de la v+ minimizada a lo largo de los contorno. Donde β es el factor de peso y (v•ň-||v+||) es la diferencia de cuadrados entre la velocidad normal estimada y la velocidad predicha para la solución.

Gong y Brady(1990) formulan una restricción similar pero incluyen una diferencia de mínimos cuadrados para la velocidad tangencial.

∫(δv/δS)^2 + β( v • ň-||v+||2)^2dS + a(v • ŧ - ||v||||2)2dS

Donde ŧ es el vector unitario perpendicular ň y a es una expresión escalar asociada con la componente tangencial de v, proporcional al determinante de la matriz Hessiana de las intensidades de las estructuras en la imagen.

e) Métodos Multicontraste

Estos métodos usan múltiples instancias de la ecuación restrictiva del flujo óptico para proveer expresiones ambiguas de los movimientos en las imágenes a partir de simples puntos, expanden la imagen espacio temporal con polinomios Hermite y resuelven para v usando mínimos cuadrados estándar.
Sistemas con funciones diferentes a la intensidad pueden ser sustituidos en la ecuación restrictiva del flujo óptico, que pueden ser vistas como operaciones aplicadas a los niveles de gris. Aunque el problema de apertura no puede ser resuelto cuando se encuentran singularidades en sistemas sobre restringido. Esto ocurre en estructuras con intensidades particulares, como lo son regiones con intensidad uniforme, texturas periódicas o imágenes muy estructuradas.

f) Enfoques Jerárquicos.

Este tipo de enfoques se utilizan cuando existen problemas con largos movimientos en el espacio 2D, en la aplicación de métodos diferenciales en una forma de lo grueso a lo fino se soluciona este problema. Donde se trata de bajar la resolución de una imagen para poder determinar su flujo óptico, de forma más sencilla.

Bibliografia:

• A. M. Waxman and K. Wohn. Contour evolution, neighborhood deformation, and global image flow: planar surfaces in motion. Int. J. of Robotics Res.,4(3): 95-108, 1985.
  
• S. Gong and M. Brady, Parallel computation of optic flow. In Proc. of ECCV, pages 124-133, 1990.
  
• Beauchemin, S. S. & Barron, J. L.,The computation of optical flow, ACM Comput. Surv., ACM, 1995, 27, 433-466.
  

Flujo Óptico en Robots Móviles (6)

Técnicas para calcular el flujo óptico


Dentro de las técnicas que existen para calcular el flujo óptico encontramos:

1. Métodos basados en diferencias de intensidades.
2. Métodos basados en frecuencias.
3. Métodos basados en correlación.
4. Métodos de múltiples movimientos.
5. Métodos de refinamientos temporales.

A continuación se describirán cada uno de ellos.

1. Métodos basados en diferencia de intensidades.

Las técnicas diferenciales calculan las velocidades de una imagen a partir de derivadas espaciotemporales de las intensidades de la imagen; esto asumiendo que el dominio de la imagen es diferenciable en espacio y tiempo. Dentro de estos métodos podemos hacer una clasificación de cómo se ha obtenido el flujo óptico usando la diferencia de intensidades; para esto tenemos que se han utilizado:

a) Métodos Globales.
b) Modelos Locales.
c) Modelos de Superficie.
d) Modelos de Contorno.
e) Métodos Multicontraste.
f) Enfoques Jerárquicos.

A continuación se describirán como están se desarrolla cada uno de estos métodos para la obtención del flujo óptico.

a) Métodos Globales

Dentro de estos métodos podemos encontrar que a partir de la ecuación:

I(x,t)≈(x +δx,t + δt)

y con la restricción de suavidad obtenemos una minimización sobre el dominio de la imagen todo esto para clarificar las medidas normales y obtener las velocidades vecinas si corresponden a la misma superficie del objeto; debido a que estas velocidades serán muy idénticas. Donde se define el error funcional conforme a las restricciones sobre el dominio de interés de la imagen D.

∫D ((I•v + It )2 + λ2 tr((v)T(v)))dx

Donde v = (u,v) y la solución a v esta dada por las ecuaciones de Gauss-Seidel que se resuelven iterativamente y donde se deben de satisfacer las condiciones que permitan satisfacer la restricción del brillo constante en la imagen (dI/dt = 0) y estas son: que se tenga una iluminación uniforme en el dominio de interés de la imagen , proyecciones ortográficas y movimientos de traslación paralelos puros a la escena de la imagen. Donde a partir del cumplimiento de estas condiciones se obtiene la siguiente ecuación:

Gradiente(I)•v + I(ux+vy) = - It

Debido a que esta ecuación es equivalente a I(x,t)≈(x +δx,t + δt) pero conteniendo un nuevo termino el cual expresa la compresión o expansión de las vecindades de la imagen, así como las transformaciones afines.

Otro de los métodos que recaen en esta clasificación general es el propuesto por Nagel el cual considera que la restricción del flujo óptico debe estar basada explícitamente en las propiedades geométricas de las escenas 3D, el cual plantea la siguiente ecuación:

Gradiente(I)•v + It = 4I(zPT/ zPT-PPT/PPT)

Donde P es punto 3D del ambiente, P es la velocidad 3D y z es el vector unitario a lo largo de los ejes de línea de visión.


Bibliografía:

Beauchemin, S. S. & Barron, J. L.,The computation of optical flow, ACM Comput. Surv., ACM, 1995, 27, 433-466.